EXO : radian-avantage en astronomie

Complément de COURS 3 : Le radian-Application : tangente d'un angle "petit" ( niveau 3^ème / cours de 2^nde )
Le radian, une nouvelle unité d'angle. ( Utilise la calculette, tu en auras besoin... ) Tu vas apprendre à utiliser une nouvelle unité d'angle, et surtout, tu vas comprendre rapidement la raison pour laquelle cette unité est souvent fort pratique en astronomie. Vérifie bien que tu as compris le début de l'exercice. Sur la figure ci-dessous, en faisant bouger le point M dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on peut noter la longueur de l'arc ( sur la figure l'unité choisie est le cm ) , et la comparer avec la mesure de l'angle en radians ( bien que cette unité te soit encore inconnue ). Cela devrait te permettre de donner une définition du radian. Attention : les valeurs indiquées sur la figure sont des valeurs arrondies ! Complète cette définition : La mesure d'un angle en radians est égale à la mesure Or, si tu as fait les activités précédentes, tu sais que la mesure d'un angle ( en ° ) et la longueur de l'arc sont . Or, le demi-cercle de rayon 1 a une longueur égale à ; il lui correspond un angle au centre de °. Ainsi, pour trouver la mesure en radians quand on connaît la mesure en degrés ( ou le contraire ), on peut utiliser le tableau suivant : Angle ( en ° ) \| \| \| ___________________________________ On a : y = et x = Angle ( en radians ) \| \| \| En fait, il n'est pas nécessaire de connaître ces formules "par coeur"; la méthode de retour à l'unité est bien plus pratique; On cherche la mesure en radians de 36°... 180° = radians 1° = 36° = X radians = radians ( à 0,01 radian près )
Sinus et tangente de "petits angles". Sur la figure ci-dessous, commence par amener le point M à coté du point J. Ensuite, ramène lentement le point M vers le point I ; x se rapproche alors de plus en plus de 0. Compare visuellement les longueurs du segment [OB] ( = sin x ) et de l'arc ( = x en radians ) Refais la même opération, mais compare maintenant les valeurs données pour x ( en radians ), sin x et tan x lorsque l'angle x se rapproche de 0. Réponds alors aux questions posées. Lorsque x devient proche de 0 ( on dit en Physique, lorsque x devient "petit" ) , on a alors ( lorsque x est mesuré en RADIANS ) : , mais aussi :