ACTIVITE 14 : Principe de la parallaxe

ATTENTION : il est nécessaire d'avoir étudié les compléments de cours ( 1, 2 , 3 et 4 ) ainsi que l'activité 13 sur la triangulation. Cette activité déborde largement le cadre du collège.
Il m'a toutefois semblé impensable de finir cette brève incursion dans les méthodes mathématiques appliquées en astronomie sans parler du principe de mesure de parallaxe.
Ainsi, cette activité s'adresse plus à des élèves de 1ère qu'à des collégiens, même si ces derniers peuvent tenter l'aventure...

Rappels : définition de la parallaxe p ( et relation entre p et d )
La parallaxe d'un astre est l'angle sous lequel un observateur situé sur cet astre verrait le rayon de la Terre

Evidemment, cette figure n'est pas à l'échelle, et en pratique l'angle p est très petit (quelques secondes d'arc )
Soit d la distance qui nous sépare de l'astre et R le rayon de la Terre ( on appelle A l'astre et T le centre de la Terre )
On a alors : d = AT , R = TH et on cherche p.

                                
On a : = ;or p est "petit", si on exprime p en , on a  »  p
                                

                       
Et donc : p  »  . ; donc d  =               
                           
                                                  
              

 

Détermination de d et de la parallaxe d'un astre :

On suppose que deux observateurs terrestres situés sur un même méridien en A1 et en A2 observent un astre lointain S au même moment. Il notent l'angle entre la verticale du lieu et la visée de l'astre :
L'observateur situé en A1 mesure l'angle z1.
L'observateur situé en A2 mesure l'angle z2.
L'angle a1 + a2 est connu : c'est la différence de latitude entre A1 et A2 ( mais ni a1, ni a2 ne sont connus avec suffisamment de précision )
L'angle A1SO est appelé p1, l'angle A2SO est appelé p2 et p est la parallaxe du soleil.

On appelera R le rayon de la Terre.

On cherche à calculer d en fonction de R, z1, z2, et de a = a1 + a2 ( a représente la différence de latitude entre les deux postes d'observation )


Calcul :

1°.
Calcul de p1 en fonction de z1 et de a1.
p1 =
Calcul de p2 en fonction de z2 et de a2.
p2 =

 

 

 

2°. Utilisation de la formule des sinus dans les triangles OA1S et OA2S

                                                                
Dans OA1S : =      ;      Dans OA2S : =    
                      sin( 180°- z1)      sin p1                                          sin(180°- z2)       sin p2

Et, en utilisant la propriété des sinus d'angles supplémentaires, il vient :
                                                                
Dans OA1S : =      ;      Dans OA2S : =    
                           sin p1                                                  sin p2

Quand un angle x est petit, on a sin x  » x ; donc ,comme p1 et p2 sont petits ( l'astre est lointain ), on a :

            X                  X
d = et d =
                                                 


   

 

3°. Finalisation :

 

La première et la troisième formules semblent suffire pour calculer d.
En fait, elles sont inutilisables car on ne peut connaître avec suffisamment de précision les valeurs de a1 et de a2.
Par contre, on connaît très bien la valeur de a1 + a2......

Utilisons un résultat peu connu au collège ( sous cette forme ), mais qui, utilisé ici, va nous être fort utile :

                                                                                    
Et finalement, on obtient la formule finale : d = R  
                                                                                    

 

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