MESURE de la distance Terre-Soleil( Thales 1 )

ACTIVITE 12 : Mesure de la distance Terre-Soleil
( avec le passage de Vénus; méthode simplifiée ; niveau 3ème )

Présentation générale ( préliminaires ). ( Utilise la calculette, tu en auras besoin... )
Nous allons donc calculer "approximativement " la distance Terre-Soleil.
Pour cela, profitons d'un passage de Vénus entre la Terre et le Soleil.
Le principe de la mesure est de mesurer l'ombre de Vénus sur le Soleil vue de 2 endroits différents sur la Terre.
La mesure réelle fait appel à la notion de parallaxe ( la parallaxe d'un astre est l'angle sous lequel un observateur situé au centre de cet astre verrait le rayon de la Terre ); nous ne ferons qu'aborder cette notion dans ce dossier.
Nous allons ici adopter une méthode approximative qui peut donner d'excellents résultats, à condition de bien choisir les endroits sur Terre d'où on observe l'ombre de Vénus.

Sur ce schéma ( qui n'est pas à l'échelle ) fais bouger les points A et B ( ainsi que Vénus ) jusqu'à reconnaître une configuration classique du cours...

1^ère étape : calcul de la distance AB.

Imaginons que l'on prenne pour A la ville de Paris et pour B, Porto-Novo situé approximativement à la même longitude que Paris ( capitale du Bénin situé à côté de la côte d'Ivoire ), et dans l'hémisphère Nord.
Survole les 2 villes pour faire apparaître leurs coordonnées géographiques.

Paris :
Latitude ;ainsi en convertissant en degrés ( 1' = 1/60° ): latitude de Paris = ° ( à 0,01° près )

Porto-Novo :
Latitude ; ainsi en convertissant en degrés ( 1' = 1/60° ) : latitude = ° ( à 0,01° près )

(Fig 1 ) ( Fig 2 )
Ainsi, a = mesure de = ° ( à 0,01° près ).

( Fig 2 ) : on appelle M le milieu de [AB]; le triangle AMT est rectangle car TAB est .
On connaît l'angle dont la mesure est a/2;
on connaît aussi et on cherche à déterminer .

On a alors : (a/2) = ; donc AM = .

On en déduit alors AB = km ( à 10 km près ).

2^èmeétape : calcul de la distance A'B'

Calcul de la longueur A'B'
V appartient à [AA'], V appartient à [BB'] et

Donc, d'après le théorème de Thalès, on a : =

Donc A'B' = .

Or, on sait que : = 1 ua et que =0,72 ua; donc : VA =

Ainsi : A'B' = km ( à 100 km près )

Dernière étape : calcul de la distance AA' ( distance Terre-Soleil )

Grâce aux observations faites du passage de Vénus devant le Soleil en 2 endroits différents de la Terre, la superposition des 2 photos ( prises au même moment ) va nous permettre de déterminer la mesure de .
Déplace S ( image de Paris ) et superpose les 2 photographies...

Bien. Maintenant, nous allons faire une hypothèse qui va nous permettre de simplifier les calculs.
Si on trace le cercle de centre Paris ( le point A ) et de rayon la distance Terre-Soleil, ce cercle va couper [AB') en un point B".
On va faire l'hypothèse que le segment [A'B'] et l'arc ont sensiblement la même longueur.

Calcul de la longueur AA'
La méthode, classique, a déjà été utilisée lors de la mesure de la distance Terre-Lune.
On utilise le fait que l'angle au centre du cercle et la longueur de l'arc sont .

Angle ( ° ) | | |
_________________________________________________
Longueur de l'arc ( km ) | | | <- Fais apparaître la longueur du cercle.
( à 1 000 000 km près )

Si on appelle p la longueur du cercle, et R la distance Terre-Soleil quelle est la relation entre R et p ?

Ici, on a p = ? km. Donc :

R = = à 1 000 000 km près ;

Conclusion :

La méthode précédente est inspirée d'une méthode simplifiée de calcul lors du dernier passage de Vénus devant le Soleil le 8 Juin 2004.
En réalité, des mesures ont été effectuées en divers lieux de la planète, pas situés obligatoirement sur le même méridien.
Les mesures évoquées ici ( à Paris et au Bénin ) sont de la pure fiction...mais je voulais impérativement "coller" au programme de 3ème sur la sphère ( rappelons que la distance entre 2 villes situées sur le même méridien ou sur le même parallèle sont au programme de cette classe ).
Plusieurs remarques me paraissent nécessaires :

1°. Pour que les calculs précédents soient exacts, 2 conditions doivent être réunies :

( AB ) // ( A'B' )
le segment [A'B'] et l'arc ont sensiblement la même longueur.

Dans le cas contraire, les résultats ne peuvent qu'être approximatifs voire TRES approximatifs.

2°. Les outils mathématiques mis en oeuvre ici ( Thalès et trigonométrie ) étaient connus des anciens.
On pourrait alors se demander, dans ces conditions, la raison pour laquelle il aura fallu attendre la fin du 17ème siècle pour avoir une évaluation "correcte" de cette distance.

La réponse réside dans le calcul de l'angle sous lequel de la Terre on voit le décalage entre les deux taches :
0,0046° ( dans les conditions de l'expérience fictive présentée ici ).
Les outils permettant de mesurer de tels angles avec précision n'existaient pas dans l'antiquité.

Les anciens possédaient les outils mathématiques...il leur manquait les outils matériels.

Fin de l'activité / les activités et les exercices suivants sont des prolongements du cours et pourront être travaillés par ceux qui voudraient aller "plus loin"...